Quantum Field Theoryteru⭐本note使用Typst排版, 由于使用还不成熟, 如有typo感谢指出本note使用了physica package, 如有显示错误请告知mail: 0w0@ruriko.moehomepage: ruriko.moe本note基于贾宇老师的课堂内容整理.目录A. 相对论性量子力学回顾 ..................................................................... 1A.1. Klein-Gordon方程 ..................................................................... 1A.2. Dirac 方程 ........................................................................... 1A.3. 利用K-G方程与Dirac方程计算氢原子能谱 ............................................... 1A.3.1. 从K-G方程推导 ................................................................... 1A.3.2. 从Dirac 方程推导 ................................................................. 1A.4. 用Dirac方程计算电子磁矩 ............................................................. 1B. QFT的诞生 ................................................................................ 1B.1. 一维经典弦的量子化 ................................................................... 1C. 经典场论 ................................................................................. 1C.1. Lorentz变换 .......................................................................... 1C.2. 场的分类 ............................................................................. 1C.3. 场的Euler-Lagrange方程 .............................................................. 1C.4. 对称性 Symmetry ...................................................................... 1D. Noether定理 (对称性 ⟶ 守恒量) .......................................................... 1E. 量子化 K-G 场论 .......................................................................... 1A.相对论性量子力学回顾Schrödinger方程的推导参见这个note (ruriko.moe/SchrodingerEquation).A.1.Klein-Gordon方程对动量 4-矢量有:𝑝=𝑝𝜇=(𝐸𝑐,⃗𝑝),𝑝2=𝑚2𝑐2⟹𝐸=√⃗𝑝2𝑐2−𝑚2𝑐4⟹𝐸2=⃗𝑝2𝑐2+𝑚2𝑐4(1)得到Klein-Grdon方程:[[[1𝑐2𝜕2𝜕𝑡2𝛁2+(𝑚𝑐⁠ℎ⁠)2]]]𝜓=0, or(((□+(𝑚𝑐⁠ℎ⁠)2)))𝜓=0,其中□=𝑔𝜇𝜈𝜕𝜇𝜕𝜈 (d'Alembert 算符)(2)该方程存在下述两个问题:1.负能解: 导致真空不稳定.2.负几率: 波函数的概率诠释失效.下面我们来分析这两个问题:1.负能解:K-G方程的本征波函数𝜓KG=ei⁠ℎ⁠(⃗𝑝·⃗𝑥−𝐸𝑡)(3)显然, 能量本征值:𝐸=±√𝑝2𝑐2−𝑚2𝑐4(4)我们发现, 能量存在负解 −√𝑝2𝑐2−𝑚2𝑐4. 我们认为量子系统存在能量最低的粒子数为 0的真空态.在存在负能解的情况下, 真空态的能量趋于 −∞, 显然这会导致真空的不稳定.2.负几率:K-G方程可以写成连续性方程的形式:𝜕𝜕𝑡𝜌+·⃗𝐽=0(5)其中:𝜌KG=𝑁Im(𝜓∗𝜕𝜕𝑡𝜓),⃗𝐽KG=𝑁𝑐2Im(𝜓∗𝜓)(6)显然, 𝜌KG 不正定, 概率密度可能出现 𝜌KG≤0 的情况.A.2.Dirac 方程为了解决负几率问题, 提出了Dirac方程. Dirac方程通过Schrödinger方程i⁠ℎ⁠𝜕𝜕𝑡𝜓=𝐻𝜓(7)得到.考虑波函数 𝜓 是一个 𝑛 维矢量:𝜓(𝑥,𝑡)=((((((((((((𝜓1𝜓2⋮𝜓𝑛))))))))))))(8)令所求方程形式为:i⁠ℎ⁠𝜕𝜕𝑡𝜓=[−i⁠ℎ⁠𝑐⃗𝛼·+𝛽𝑚𝑐2]𝜓(9)其中, 𝛼 是 𝑛 元矩阵矢量: 𝛼=(𝛼1,𝛼2,𝛼2) , 𝛼𝑖 (𝑖=1,2,3) 和 𝛽 为矩阵.狭义相对论要求对公式 9 两边算符平方 (作用两次) 会回到K-G方程:(i⁠ℎ⁠𝜕𝜕𝑡)2𝜓=𝐻2𝜓(10)⟹−⁠ℎ⁠2𝜕2𝜕𝑡2𝜓=−⁠ℎ⁠2𝑐2∑3𝑖𝑗=1{𝛼𝑖,𝛼𝑗}𝜕𝑖𝜕𝑗𝜓−i⁠ℎ⁠𝑚𝑐3∑3𝑖=1{𝛼𝑖,𝛽}𝜕𝑖𝜓+𝑚2𝑐4𝛽2𝜓(11)其中 {𝐴,𝐵}=𝐴𝐵+𝐵𝐴 为反对易算符.对比上式与K-G方程, 可以得到以下条件:{{{{{{{{{{𝛼𝑖,𝛽}=0{𝛼𝑖,𝛼𝑗}=2𝛿𝑖𝑗𝟙⟹(𝛼𝑖)2=𝟙𝛽2=𝟙(12)我们发现, 当 𝑛=4 时, 可以选取 4×4矩阵:⃗𝛼=(0⃗𝜎⃗𝜎0),𝛽=(𝟙00−𝟙)(13)使以上条件成立, 其中 ⃗𝜎 为Pauli矩阵 ⃗𝜎=(𝜎𝑥,𝜎𝑦,𝜎𝑧).通常, 我们记𝛾=𝛾𝜇=(𝛾0,⃗𝛾)=(𝛽,𝛽⃗𝛼)(14)则所求方程可以写为:(i𝛾𝜇𝜕𝜇−𝑚𝑐⁠ℎ⁠)𝜓(𝑡,⃗𝑥)=0(15)上式即Dirac方程.可以验证, 将上式写成连续性方程的形式:𝜕𝜕𝑡𝜌+·⃗𝑗=0(16)其中𝜌=𝜓†𝜓=|𝜓|2≥0,⃗𝑗=𝑐𝜓†⃗𝛼𝜓(17)解决了负几率问题.Dirac方程的能量本征值𝐸=±√𝑝2𝑐2+𝑚2𝑐4(18)没有解决负能解问题. 为了解决负能解问题, Dirac提出了Dirac sea理论, 并以此预言了正电子的存在.A.3.利用K-G方程与Dirac方程计算氢原子能谱A.3.1.从K-G方程推导我们对K-G方程中的能量与动量做"最小耦合"处理:𝐸⟶i⁠ℎ⁠𝜕𝜕𝑡+𝑒𝜙𝑝⟶−i⁠ℎ⁠+𝑒⃗𝐴𝑐(19)代入K-G方程, 得:(𝐸−𝑝2𝑐2−𝑚2𝑐4)𝜓=0⇒[[[[(i⁠ℎ⁠𝜕𝜕𝑡+𝑒𝜙)2−𝑐2((((−i⁠ℎ⁠𝛁+𝑒⃗𝐴𝑐))))2−𝑚2𝑐4]]]]𝜓=0(20)氢原子满足库伦势和定态解:𝐴𝜇=(𝑒4𝜋𝑟,0),𝜓(𝑡,⃗𝑟)∝e−i𝐸𝑡/⁠ℎ⁠𝜓(⃗𝑟)(21)代入化简, 得定态方程:[[[(((𝐸+𝑒24𝜋𝑟)))2−⁠ℎ⁠2𝑐2𝛁2−𝑚2𝑐4]]]𝜓(⃗𝑟)=0(22)将波函数写成𝜓(⃗𝑟)=𝑌𝑚(𝜃,𝜙)𝑅𝑛(𝑟)(23)即可解出氢原子能谱方程:𝐸𝑛𝑙=𝑚𝑐2√√√√1+𝛼2(((𝑛−𝑙−12+√(𝑙+12)2−𝛼)))2=𝑚𝑐2[[[1−𝛼22𝑛2−𝛼42𝑛4(((((𝑛𝑙+12−34)))))+⋯]]](24)𝑙为角量子数.其中第一项是静止质量, 第二项是Bohr能级, 第三项即为相对论带来的修正. 第三项的相对论修正仍与实验结果有一定误差. 我们考虑Dirac方程.A.3.2.从Dirac 方程推导同理, 我们对Dirac作最小耦合处理:(i⁠ℎ⁠𝜕𝜕𝑡+𝑒𝜙)𝜓=(−i⁠ℎ⁠𝛁+𝑒𝑐⃗𝐴)·⃗𝛼𝜓+𝛽𝑚𝑐2𝜓,{{{{{𝑒𝜙=𝑒24𝜋𝑟⃗𝐴=0⟹[𝐻,−i⁠ℎ⁠⃗𝑟×𝛁+⁠ℎ⁠⃗𝜎2]=0(25)解得能级为:𝐸𝑛𝑗=𝑚𝑐2√√√√1+𝛼2(((𝑛−𝑗−12+√(𝑗+12)2−𝛼2)))2=𝑚𝑐2[[[1−𝛼22𝑛2−𝛼42𝑛4(((((𝑛𝑗+12−34)))))+⋯]]](26)𝑗为总量子数. 此项结果与实验吻合较好.A.4.用Dirac方程计算电子磁矩见J. J. SakuraiModern Quantum Mechanics8.2.4B.QFT的诞生B.1.一维经典弦的量子化考虑 𝑁 个质量 𝑚 的简谐振子组成的一维链,总长 𝐿0=𝑁𝑙 , 平衡状态下每个振子相距为 𝑙, 记 𝑛𝑖 为第𝑖 个振子, 其位置为 𝜂𝑖. 若振子 𝑛𝑖 产生了一个小偏移, 则其动能𝑇=∑𝑁𝑖=112𝑚𝑣2𝑖=∑𝑁𝑖=112𝑚̇𝜂2𝑖=12𝑚∑𝑁𝑖=1(d𝜂d𝑡)2(27)势能:𝑉=∑𝑁𝑖=112𝑘(𝜂𝑖+1−𝜂𝑖)2(28)取连续极限:𝑁→∞,𝑙→0(29)得到:𝑇=12𝑚∑𝑁𝑖=1(d𝜂d𝑡)2=12𝑚𝑙∑𝑁𝑖=1𝑙(d𝜂d𝑡)2=12𝜇∫𝐿00d𝑥(𝜕𝜂(𝑥,𝑡)𝜕𝑡)2𝑉=12𝑘𝑙∑𝑁𝑖=1𝑙(𝑛𝑖+1−𝑛𝑖𝑙)2=12𝒯∫𝐿00d𝑥(𝜕𝜂(𝑥,𝑡)𝜕𝑥)2(30)其中 𝜇=𝑚/𝑙 为弦的线密度 [𝑀/𝐿], 𝒯=𝑘𝑙为弦的杨氏模量 (张力) [𝐸/𝐿].于是我们得到Lagrangian:𝐿=𝑇−𝑉=∫𝐿00d𝑥[[[12𝜇(𝜕𝜂𝜕𝑡)2−12𝒯(𝜕𝜂𝜕𝑥)2]]](31)记𝑢(𝑡,𝑥)=√𝜇𝜂(𝑡,𝑥),𝑐=√𝒯𝜇(32)有:𝐿=12∫𝐿00d𝑥[[[[((((𝜕(√𝜇𝜂)𝜕𝑡))))2−(𝒯𝜇)((((𝜕(√𝜇𝜂)𝜕𝑥))))2]]]]=12∫𝐿00d𝑥[[[(𝜕𝑢𝜕𝑡)2−𝑐2(𝜕𝑢𝜕𝑥)2]]]⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟Lagrangian densityℒ(33)𝑐即波速. 故我们有Euler-Lagrange方程:𝜕2𝑢𝜕𝑡2−𝑐2𝜕2𝑢𝜕𝑥2=0(34)令弦两端固定, 有边界条件:𝑢(𝑡,𝑥=0)=𝑢(𝑡,𝑥=𝐿0)=0(35)我们将 𝑢(𝑡,𝑥) 在位形空间 Fourier展开:𝑢(𝑡,𝑥)=∑∞𝑘=1𝑞𝑘(𝑡)sin(𝜔𝑘𝑥𝑐),𝜔𝑘=𝑘𝜋𝑐𝐿0(36)𝜔𝑘 即正则角频率. 代入Lagrangian表达式:𝐿=𝐿04∑∞𝑘=1[̇𝑞2𝑘(𝑡)−𝜔2𝑘𝑞2𝑘(𝑡)](37)我们也可以得到相应的Euler-Language方程:̈𝑞𝑘(𝑡)+𝜔2𝑘𝑞2𝑘(𝑡)=0(38)我们定义正则动量𝑝𝑘=𝜕𝐿𝜕̇𝑞𝑘=𝐿02̇𝑞𝑘(𝑡)(39)做Legendre变换:𝐻=∑∞𝑘=1𝑝𝑘̇𝑞𝑘−𝐿=∑∞𝑘=1((((𝑝2𝑘𝐿0+𝐿04𝜔2𝑘𝑞2𝑘))))(40)量子力学中, 动量与位置算符满足 [̂𝑝,̂𝑥]=−i⁠ℎ⁠. 在这里, 我们将位置 𝑞𝑘 和正则动量 𝑝𝑘 看作量子算符,并满足对易关系 (等时量子化条件):[̂𝑝𝑘(𝑡),̂𝑞𝑗(𝑡)]=−i⁠ℎ⁠𝛿𝑘𝑗,[̂𝑝𝑘(𝑡),̂𝑝𝑗(𝑡)]=[̂𝑞𝑘(𝑡),̂𝑞𝑗(𝑡)]=0(41)我们回忆量子力学里的简谐振子模型, 可以用粒子数算符表示为̂𝑥=√⁠ℎ⁠2𝑚𝜔(𝑎+𝑎†),̂𝑝=−i√𝑚⁠ℎ⁠𝜔2(𝑎−𝑎†)̂𝐻=⁠ℎ⁠𝜔(𝑎†𝑎+12),𝑎|𝑛⟩=√𝑛|𝑛−1⟩,𝑎†=√𝑛+1|𝑛+1⟩[𝑎,𝑎†]=1(42)其中 𝑎 为下降算符 (lowering operator), 𝑎† 为上升算符 (raising operator).同样的, 我们可以将上文给出的 𝑞𝑘 表示为:̂𝑞𝑘=√⁠ℎ⁠𝐿0𝜔𝑘(𝑎𝑘e−i𝜔𝑘𝑡+𝑎†𝑘ei𝜔𝑘𝑡)((((⇔̂𝑥=√⁠ℎ⁠2𝑚𝜔(𝑎+𝑎†)))))(43)其中, 𝑎𝑘 为湮灭算符 (annihilation operator), 𝑎†𝑘 为产生算符 (creation operator). 若要满足公式 41的量子化条件, 应有:[𝑎𝑘,𝑎†𝑗]=𝛿𝑘𝑗(⇔[𝑎,𝑎†]=1)[𝑎𝑘,𝑎𝑗]=[𝑎†𝑘,𝑎†𝑗]=0(44)按公式 41 也可以给出̂𝑝𝑘=−i√𝐿0𝜔𝑘⁠ℎ⁠4(𝑎𝑘e−i𝜔𝑘𝑡−ei𝜔𝑘𝑡)(45)将产生湮灭算符给出的 ̂𝑞𝑘 与 ̂𝑝𝑘 代入Hamiltonian的表达式, 可以得到:𝐻=∑∞𝑘=1⁠ℎ⁠𝜔𝑘(𝑎†𝑘𝑎𝑘+12)(46)因此, 我们可以把量子场理解为无穷多个谐振子的联合. 对于基态 |0⟩, 有𝑎𝑘|0⟩=0,∀𝑘=1,…,∞(47)𝐻𝑎†𝑘|0⟩=[𝐻,𝑎†𝑘]|0⟩+𝑎†𝑘𝐻|0⟩=⁠ℎ⁠𝜔𝑘𝑎†𝑘|0⟩+𝐸0𝑎†𝑘|0⟩=(𝐸0+⁠ℎ⁠𝜔𝑘)𝑎†𝑘|0⟩(48)因此我们称 𝑎𝑘 为湮灭算符, 𝑎†𝑘 为产生算符.量子弦的能量本征态为|𝑛1,…,𝑛𝑖,…,𝑛𝑘⟩(49)其中 𝑛𝑖 为𝜔𝑖模式的粒子 (光子) 数. 描述这个本征态的空间称为Fork space:ℱ=⨁𝑛𝐻𝑛(50)其中 𝐻𝑛 为固定了 𝑛 个粒子 (光子) 的Hilbert空间.由此我们可以把 (𝑎†)𝑛 诠释为产生 𝑛 个粒子———粒子是场激发对应的量子.零点能𝐻|0⟩=𝐸0|0⟩=∑∞𝑘=112⁠ℎ⁠𝜔𝑘∝∑∞1𝑘(51)我们发现这个级数是发散的. 为了解决这个问题, 我们未来会引入"重整化".C.经典场论在场论中, 我们采用自然单位制 (God given unit/natural unit):⁠ℎ⁠=𝑐=1(52)在此单位制下, 我们有:[𝐸]=1=[𝑝]=[𝑚][𝐿]=[𝑡]=−1(53)经典场的Lagrangian可以写成如下形式:𝐿=∫d3𝑥ℒ(⃗𝑥,𝑡),𝑆=∫𝐿d𝑡(54)其中作用量 𝑆 是一个Lorentz标量 (Lorentz Scalar). 因此有:𝑆=∫d𝑡d𝑥3ℒ(⃗𝑥,𝑡)=∫d4𝑥ℒ(𝑥)(55)在上式中, 作用量 𝑆 是一个实标量, d4𝑥 是 Lorentz不变量 (Lorentz invariance), 因此我们要求拉格朗日密度 (Larangian density) ℒ(𝑥) 是一个Lorentz不变量.C.1.Lorentz变换对于4-矢量 𝑥𝜇=(𝑡,𝑥1,𝑥2,𝑥3), 其Lorentz变换𝑥𝜇⟶Λ𝜇𝜈𝑥𝜈=𝑥′𝜇(56)变换 Λ 包含了空间上的转动变换和时空上的boost变换, 比如绕 𝑥 轴的转动变换:Λ=(((((((((((11cos𝜃𝑥−sin𝜃𝑥sin𝜃𝑥cos𝜃𝑥)))))))))))(57)𝑥 和 𝑡 上的boost变换Λ=(((((((((𝛾𝛾𝑣𝛾𝑣𝛾11)))))))))(58)这里我们定义快度 𝛽𝛽=12ln1+𝑣1−𝑣(59)有:cosh𝛽=𝛾=1√1−𝑣2sinh𝛽=𝛾𝑣(60)于是, 变换矩阵为:Λ=(((((((((((cosh𝛽sinh𝛽sinh𝛽cosh𝛽11)))))))))))(61)Lorentz变换𝑥′𝜇=Λ𝜇𝜈𝑥𝜈(62)不改变时空间隔的长度:d𝑠2=𝑔𝜇𝜈d𝑥′𝜇d𝑥′𝜈=𝑔𝜌𝜎d𝑥𝜌d𝑥𝜎(63)将公式 63 右侧的微分除到左侧, 得到:⟹𝑔𝜇𝜈𝜕𝑥′𝜇𝜕𝑥𝜌𝜕𝑥′𝜈𝜕𝑥𝜎=𝑔𝜇𝜈Λ𝜇𝜌Λ𝜈𝜎=𝑔𝜌𝜎⟹(Λ𝜌𝜈)𝖳𝑔𝜇𝜈Λ𝜈𝜎=𝑔𝜌𝜎(64)写成矩阵形式Λ𝖳𝑔Λ=𝑔(65)两边取determinantdet(Λ𝖳𝑔Λ)=det(𝑔)⟹det(Λ𝖳)det(𝑔)det(Λ)=det(𝑔)⟹det(Λ)2=1(66)我们得到det(Λ)=±1(67)即Lorentz矩阵的特征值为 ±1.我们回到Lorentz变换𝑔𝜇𝜈Λ𝜇𝜌Λ𝜈𝜎=𝑔𝜌𝜎(68)取 𝜌=𝜎=0, 有:𝑔𝜇𝜈Λ𝜇0Λ𝜈0=𝑔00=1⟹(Λ00)2−∑3𝑖=1(Λ𝑖𝑜)2=1⟹(Λ00)2=1+∑3𝑖=1(Λ𝑖𝑜)2≥1(69)因此,我们发现Λ00≥+1orΛ00≤−1(70)四维时空中的矢量和张量可以是协变, 逆变或者协变逆变混合的:1.逆变量的Lorentz变换形如:𝑥𝜇→𝑥′𝜇=Λ𝜇𝜈𝑥𝜈𝑇𝜇𝜈→𝑇′𝜇𝜈=Λ𝜇𝜌Λ𝜈𝜎𝑇𝜌𝜎(71)2.协变量的Lorentz变换形如:𝑥𝜇→𝑥′𝜇=(Λ−1)𝜈𝜇𝑥𝜈𝑇𝜇𝜈→𝑇′𝜇𝜈=(Λ−1)𝜌𝜇(Λ−1)𝜎𝜈𝑇𝜌𝜎(72)3.协变逆变混合量的Lorentz变换形如:𝑇𝜇𝜈→𝑇′𝜇𝜈=Λ𝜇𝜌(Λ−1)𝜎𝜈𝑇𝜌𝜎(73)考虑矢量平方的Lorentz变换:𝑥2=𝑥𝜇𝑥𝜇⟶𝑥′2=𝑥′𝜇𝑥′𝜇=Λ𝜇𝜌𝑥𝜌(Λ−1)𝜎𝜇𝑥𝜎=(Λ𝜇𝜌(Λ−1)𝜎𝜇)𝑥𝜌𝑥𝜎=𝛿𝜎𝜌𝑥𝜌𝑥𝜎=𝑥2(74)C.2.场的分类我们可以按Lorentz变换下的行为对场进行分类为标量场, 矢量场, 张量场和旋量场.1.标量场𝜙(𝑥)→𝜙′(Λ−1𝑥)=𝜙(𝑥)(75)2.矢量场, 如电磁场𝐴𝜇(𝑥)→𝐴′𝜇(Λ−1𝑥)=Λ𝜇𝜈𝐴𝜈(Λ−1𝑥)(76)3.张量场ℎ𝜇𝜈(𝑥)→ℎ′𝜇𝜈(Λ−1𝑥)=Λ𝜇𝜌Λ𝜈𝜎ℎ𝜌𝜎(𝑥)(77)4.旋量场 (Dirac场)𝜓(𝑥)→𝜓′(Λ−1𝑥)=Λ12𝜓(𝑥)"spiner-field"(78)场论中的Lagrangian density可以包含形如以下这些的项:ℒ(𝑥)⊂𝜙(𝑥), 𝜕𝜇𝜙(𝑥)𝜕𝜈𝜙(𝑥), 𝜙3(𝑥), 𝜙1000009(𝑥), sin𝜙(𝑥),…(79)而不可以包含像这样的项:ℒ(𝑥)⊄𝜕𝜇𝜙(𝑥):矢量, 不满足Lorentz invariance, 𝜙1□𝜙, ∫d3𝑦𝜙(𝑥)𝜙(𝑦)⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟Nonlocal field(80)这里我们出于简单考虑, 要求我们的场论是定域 (局域) 的, 而不能是非定域 (全局) 的.由于 [d4𝑥]=4, 我们发现Lagrangian density的量纲是 [ℒ]=+4. Lagrangian density 可以写成以下形式:ℒ=𝒦−𝒱(81)其中 𝒦 项可以形如𝒦⊂𝜙2 (自由场), 𝜕𝜇𝜙𝜕𝜇𝜙, 𝜕𝜇𝜙1𝜕𝜇𝜙2, 𝜕𝜇𝜙𝜕𝜇𝜙∗, 𝜕𝜇𝜙𝐴𝜇, −14𝐹𝜇𝜈𝐹𝜇𝜈,…(82)𝒱 项是相互作用项, 至少包含三线型𝒱⊂𝜙3, 𝜙4, 𝑛4𝛾𝜇𝜓𝐴𝜇, 𝜕𝛾𝜙𝐴𝛾𝜙∗, (𝐴𝛾𝐴𝛾)2, 𝜕𝜇ℎ𝜇𝜈𝜕𝜈ℎ𝛼𝛽ℎ𝛼𝛽,…(83)𝜙 的量纲 [𝜙]=+1.我们研究形如下式的K-G场的Largrangian density:ℒKG=12𝜕𝜇𝜕𝜇𝜙−12𝑚2𝜙2=12̇𝜙2−12𝛁𝜙·𝛁𝜙−12𝑚2𝜙2(84)在经典力学中我们定义动量: 𝑝=𝜕𝐿𝜕̇𝑞, 同样的, 我们定义共轭动量密度𝜋(𝑥)=𝜕ℒ𝜕̇𝜙=̇𝜙(85)经典力学中通过Legendre 变换将Hamiltonian定义为 𝐻(𝑝,𝑞)=𝑝̇𝑞−𝐿, 同样的, 我们定义场的Hamiltonian density:ℋ(𝑥)=𝜋̇𝜙−ℒ(86)代入Lagrangian density, 我们得到:ℋ(𝜋,𝜙)=𝜋̇𝜙−ℒ=12𝜋2+12(𝛁𝜙)2+12𝑚2𝜙2≥0(87)我们发现这个场具有稳定的基态.C.3.场的Euler-Lagrange方程考虑场的作用量𝑆=∫d4𝑥ℒ(𝜙,𝜕𝜇𝜙)(88)我们对其取变分等于0:0=𝛿𝑆=∫d4𝑥𝛿ℒ(𝜙,𝜕𝜇𝜙)=∫d4𝑥[[[[[[𝜕ℒ𝜕𝜙𝛿𝜙+𝜕ℒ𝜕(𝜕𝜇𝜙)𝛿(𝜕𝜇𝜙)⏟⏟⏟⏟⏟𝜕𝜇𝛿𝜙]]]]]]=∫d4𝑥[[[[𝜕ℒ𝜕𝜙𝛿𝜙+𝜕𝜇(((((𝜕ℒ𝜕(𝜕𝜇𝜙)𝛿𝜙)))))−𝜕𝜇(((((𝜕ℒ𝜕(𝜕𝜇𝜙))))))𝛿𝜙]]]]=∫d4𝑥(((((𝜕ℒ𝜕𝜙−𝜕𝜇(((((𝜕ℒ𝜕(𝜕𝜇𝜙)))))))))))𝛿𝜙+∫d4𝑥𝜕𝜇(((((𝜕ℒ𝜕(𝜕𝜇𝜙)𝛿𝜙)))))(89)第二项利用Gauss公式:∫d4𝑥𝜕𝜇(((((𝜕ℒ𝜕(𝜕𝜇𝜙)𝛿𝜙)))))=∯⃗𝑗·d⃗Σ=0(((((记𝑗𝜇=𝜕ℒ𝜕(𝜕𝜇𝜙)𝛿𝜙)))))(90)那么第二项积分应为 0, 于是有:𝛿𝑆=∫d4𝑥(((((𝜕ℒ𝜕𝜙−𝜕𝜇(((((𝜕ℒ𝜕(𝜕𝜇𝜙)))))))))))𝛿𝜙=0(91)由于 𝛿𝜙 的取值任意, 那么我们得到场的Euler-Lagrange方程 (equation of motion, 运动方程):𝜕ℒ𝜕𝜙−𝜕𝜇(((((𝜕ℒ𝜕(𝜕𝜇𝜙))))))=0(92)我们将上文中的 ℒ 代入公式 92 ,有:𝜕ℒ𝜕𝜙=𝑚2𝜙,𝜕ℒ𝜕(𝜕𝜇𝜙)=□𝜙⟹(□+𝑚2)𝜙=0(K-G方程)(93)习题:1.ℒ=12(𝜕𝜇𝜙)2−12𝑚2𝜙2−𝜆4!𝜙42.ℒCKG=𝜕𝜇𝜙𝜕𝜇𝜙∗−𝑚2|𝜙|23.ℒMax=−14𝐹𝜇𝜈𝐹𝜇𝜈−𝐴𝜇𝑗𝜈C.4.对称性 Symmetry对称性是指, 在系统的动力学不变.系统的对称性的判据可以是, 在对称操作下:1.系统的运动方程保持不变;2.系统的作业量 (action) 保持不变.K-G 场的 Larangian:ℒKG=12(𝜕𝜇𝜙)2−12𝑚2𝜙2(94)考虑 K-G 场的 Lorentz 对称性:𝑥⟶𝑥′𝜇=Λ𝜇𝜈𝑥𝜈𝜙(𝑥)⟶𝜙′(𝑥)=𝜙(Λ−1𝑥)𝜕𝜇𝜙(𝑥)⟶𝜕𝜇𝜙′(Λ−1𝑥)=𝜕𝜙(Λ−1𝑥)𝜕𝑥𝜇=(Λ−1)𝜈𝜇𝜕𝜈𝜙(Λ−1𝑥)(𝜕𝜇𝜙)2⟶𝑔𝜇𝜈𝜕𝜇𝜙′(𝑥)𝜕𝜈𝜙′(𝑥)=𝑔𝜇𝜈(Λ−1)𝜌𝜇𝜕𝜌𝜙(Λ−1𝑥)(Λ−1)𝜎𝜈𝜕𝜎𝜙(Λ−1𝑥)=𝑔𝜌𝜎𝜕𝜌𝜙(Λ−1𝑥)𝜕𝜎𝜙(Λ−1𝑥)=(𝜕𝜇𝜙(Λ−1𝑥))2(95)因此系统的作用量不变, 满足判据2.另外我们考虑运动方程(□+𝑚2)𝜙′(𝑥)=(𝑔𝜇𝜈𝜕𝜇𝜕𝜈+𝑚2)𝜙(Λ−1𝑥)=𝑔𝜇𝜈(Λ−1)𝜎𝜇𝜕𝜎(Λ−1)𝜌𝜈𝜕𝜌𝜙(Λ−1𝑥)+𝑚2𝜙(Λ−1𝑥)=𝑔𝜎𝜌𝜕𝜎𝜕𝜌𝜙(Λ−1𝑥)+𝑚2𝜙(Λ−1𝑥)=(□+𝑚2)𝜙(Λ−1𝑥)(96)即系统的运动方程不变, 满足判据1.对称性可以分为时空对称性和内禀对称性:1.时空对称性即 Lorentz + space-time translation, 如平移对称性, 伸缩对称性.2.内禀对称性即内部对称性, 如 𝑈(1) 对称性, 𝑍2 对称性等.群 𝐺 即满足下述条件的集合:1.封闭性:∀𝑎,𝑏∈𝐺, 𝑎𝑏∈𝐺(97)2.恒元 𝟙3.逆元∀𝑔∈𝐺, ∃𝑔−1∈𝐺(98)4.结合律∀𝑎,𝑏,𝑐∈𝐺, (𝑎𝑏)𝑐=𝑎(𝑏𝑐)(99)对称性可以分为连续 (continuous) 对称性和分立 (discrete) 对称性. 连续对称性如 𝑈(1) 对称性. 连续对称性可以通过 Lie 群来描述. 分立对称性有 𝑍2 对称性和 𝑃𝑇 对称性.D.Noether定理 (对称性 ⟶ 守恒量)Noether theorem: 一个系统具有某种连续对称性, 且当运动方程不显含时间时, 则系统存在一个守恒流:𝜕𝜇𝑗𝜇=0(100)PROOF :作用量𝑆=∫d4𝑥ℒ(𝜙,𝜕𝜇𝜙)(101)取变分:𝛿𝑆=∫d4𝑥[𝛿(d4𝑥)ℒ+d4𝑥𝛿ℒ(𝜙,𝜕𝜇𝜙)](102)考虑无穷小变换:𝑥⟶𝑥′=𝑥+𝛿𝑥, 𝜙′(𝑥′)=𝜙(𝑥)+𝛿𝜙(103)其中, 对函数 𝑓, 有:𝛿𝑓=𝑓′(𝑥′)−𝑓(𝑥)=𝑓′(𝑥+𝛿𝑥)−𝑓(𝑥)=𝑓′(𝑥)−𝑓(𝑥)+𝛿𝑥𝜇𝜕𝜇𝑓(𝑥)+𝒪(𝛿𝑥2)(104)记 𝑓′(𝑥)−𝑓(𝑥)=𝛿0𝑓, 于是 𝛿 可以写成:𝛿=𝛿0+𝛿𝑥𝜇𝜕𝜇(105)我们研究第一项 𝛿(d4𝑥) 是什么: 由于∫d4𝑥′=∫d4𝑥||||𝜕𝑥′𝜇𝜕𝑥𝜈||||=∫d4𝑥|𝛿𝜇𝜈+𝜕𝜈𝛿𝑥𝜇|(106)根据det𝑀=etrln𝑀=1+trln𝑀(107)PROOF :记 𝐴=ln𝑀, 即 𝑀=e𝐴≔∑∞𝑛=0𝐴𝑛𝑛!, 𝐶 为 𝐴 对角化矩阵: 𝐴=𝑆−1𝐶𝑆. 于是:det𝑀=det∑∞𝑛=0(𝐴)𝑛𝑛!=det∑𝑛(𝑆−1𝐶𝑆)𝑛𝑛!=det∑𝑛𝑆−1𝐶𝑛𝑆𝑛=∑𝑛det𝑆−1det𝐶𝑛det𝑆𝑛!=∑𝑛det𝐶𝑛𝑛!(108)由于 𝐶𝑛 为对角阵, 有:det𝐶𝑛=tr𝐶𝑛=(tr𝐶)𝑛=(tr𝐴)𝑛(109)⟹det𝑀=∑𝑛(tr𝐴)𝑛𝑛!=etr𝐴=etrln𝑀=1+trln𝑀(110)于是 |𝛿𝜇𝜇+𝜕𝜈𝛿𝑥𝜇| 可以写成:|𝛿𝜇𝜇+𝜕𝜈𝛿𝑥𝜇|=1+tr[𝜕𝜈𝛿𝑥𝜇]=1+𝜕𝜇𝛿𝑥𝜇(111)因此, 我们得到:⟹𝛿(d4𝑥)=(𝜕𝜇𝑥𝜇)d4𝑥(112)在这里我们考查无穷小 Lorentz 变换:𝑥′𝜇=Λ𝜇𝜈𝑥𝜈=𝑥𝜇+𝜔𝜇𝜈𝑥𝜈(113)这里无穷小 Lorentz 变换矩阵 Λ 被一阶展开:Λ𝜇𝜈=𝛿𝜇𝜈+𝜔𝜇𝜈(114)这里 𝛿𝜇𝜈 为单位矩阵, 我们想知道 𝜔𝜇𝜈 是什么. 由于:Λ−1𝑔Λ=𝑔𝜇𝜈Λ𝜇𝛼Λ𝜇𝛽=𝑔𝜇𝜈(𝛿𝜇𝛼+𝜔𝜇𝛼)(𝛿𝜈𝛽+𝜔𝜈𝛽)≃𝑔𝛼𝛽+𝜔𝛼𝛽+𝜔𝛽𝛼=𝑔⟹𝜔𝑎𝑏=−𝜔𝑏𝑎(115)此时𝜕𝜇𝛿𝑥𝜇=𝜔𝜇𝜈𝜕𝜇𝑥𝜈=𝜔𝜇𝜈𝑔𝜇𝜈=0(116)也就是说, 对于Lorentz变换, 第一项可以忽略. 回到作用量变分:𝛿𝑆=∫[(𝜕𝜇𝛿𝑥𝜇)ℒ+𝛿ℒ]d4𝑥=0(117)我们利用 𝛿=𝛿0+𝛿𝑥𝜇𝜕𝜇 展开第二项:𝛿ℒ=𝛿0ℒ+𝛿𝑥𝜇𝜕𝜇ℒ(118)其中𝛿0ℒ=𝜕ℒ𝜕𝜙𝛿0𝜙+𝜕ℒ𝜕(𝜕𝜇𝜙)𝛿0𝜕𝜇𝜙=𝜕ℒ𝜕𝜙𝛿0𝜙+𝜕ℒ𝜕(𝜕𝜇𝜙)𝜕𝜇𝛿0𝜙=(((((𝜕ℒ𝜕𝜙−𝜕𝜇𝜕ℒ𝜕(𝜕𝜇𝜙))))))⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟0𝛿0𝜙+𝜕𝜇(((((𝜕ℒ𝜕(𝜕𝜇𝜙)𝛿0𝜙)))))=𝜕𝜇(((((𝜕ℒ𝜕(𝜕𝜇𝜙)𝛿0𝜙)))))(119)第三个等号用到了分部积分. 代回:𝛿𝑆=∫d4𝑥[[[[[[(𝜕𝜇𝛿𝑥𝜇)ℒ+𝛿𝑥𝜇𝜕𝜇ℒ⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟𝜕𝜇(𝛿𝑥𝜇ℒ)+𝜕𝜇(((((𝜕ℒ𝜕(𝜕𝜇𝜙)𝛿0𝜙)))))]]]]]]=∫d4𝑥𝜕𝜇[[[[𝛿𝑥𝜇ℒ+𝜕ℒ𝜕(𝜕𝜇𝜙)𝛿0𝜙]]]]=0(120)我们定义 Noether 流:𝑗𝜇=𝛿𝑥𝜇ℒ+𝜕ℒ𝜕(𝜕𝜇𝜙)𝛿0𝜙(121)又由于 𝛿0𝜙=𝛿𝜙−𝛿𝑥𝜇𝜕𝜇𝜙 因此:𝛿𝑆=∫d4𝑥𝜕𝜇[[[[𝛿𝑥𝜇ℒ−𝛿𝑥𝜈𝜕𝜈𝜙𝜕ℒ𝜕(𝜕𝜇𝜙)+𝜕ℒ𝜕(𝜕𝜇𝜙)𝛿𝜙]]]]=∫d4𝑥𝜕𝜇[[[[(((((ℒ𝛿𝜇𝜈−𝜕𝜈𝜙𝜕ℒ𝜕(𝜕𝜇𝜙))))))𝛿𝑥𝜈+𝜕ℒ𝜕(𝜕𝜇𝜙)𝛿𝜙]]]]=0(122)得到:𝜕𝜇[[[[(((((ℒ𝛿𝜇𝜈−𝜕𝜈𝜙𝜕ℒ𝜕(𝜕𝜇𝜙))))))𝛿𝑥𝜈+𝜕ℒ𝜕(𝜕𝜇𝜙)𝛿𝜙]]]]=0(123)可以记𝑗𝜇=(((((ℒ𝛿𝜇𝜈−𝜕𝜈𝜙𝜕ℒ𝜕(𝜕𝜇𝜙))))))𝛿𝑥𝜈+𝜕ℒ𝜕(𝜕𝜇𝜙)𝛿𝜙,𝜕𝜇𝑗𝜇=0(124)有时我们也会记 𝑎𝜈=𝛿𝑥𝜈.定义 Noether 荷:0=∫d4𝑥𝜕𝜇𝑗𝜇=∫𝑇2𝑇1d𝑡∫d3𝑥(𝜕0𝑗0+𝛁·⃗𝑗)=∫𝑇2𝑇1d𝑡(𝜕𝜕𝑡∫d3𝑥𝑗0(⃗𝑥,𝑡))+∫d𝑡∫𝑆⃗𝑗·d⃗𝜎(125)这里对空间积分应用了Stokes定理. 我们记𝑄(𝑡)=∫d3𝑥𝑗0(⃗𝑥,𝑡))(126)有:∫𝑇2𝑇1d𝑡dd𝑡𝑄+∫d𝑡∫𝑆⃗𝑗·d⃗𝜎=0(127)对于封闭曲面第二项为 0, 故有:d𝑄d𝑡=0(128)即 Noether 荷是守恒荷, 不依赖时间.考虑时空平移变换:𝑥𝜇⟶𝑥′𝜇=𝑥𝜇+𝑎𝜇,(129)在变换下 𝛿𝜙=0, 因此:𝛿0𝜙=𝛿𝜙−𝛿𝑥𝜇𝜕𝜇𝜙=−𝑎𝜇𝜕𝜇𝜙(130)我们也可以这样理解:𝜙′(𝑥)=𝜙(𝑥−𝑎)⟹𝛿0𝜙=𝜙′(𝑥)−𝜙(𝑥)=−𝑎𝜇𝜕𝜇𝜙(131)将 𝛿0𝜙 代入 𝑗𝜇 得到:𝑗𝜇=(((((ℒ𝛿𝜇𝜈−𝜕ℒ𝜕(𝜕𝜇𝜙)𝜕𝜈𝜙)))))𝑎𝜈(132)这里我们省略 𝑎𝜈, 并用度规 𝑔 将指标 𝜈 升上去, 得到:𝑇𝜇𝜈=𝜕ℒ𝜕(𝜕𝜇𝜙)𝜕𝜈𝜙−ℒ𝑔𝜇𝜈,𝜕𝜇𝑇𝜇𝜈=0(133)我们称 𝑇𝜇𝜈 为能量动量张量. 为了研究 𝑇𝜇𝜈 的物理意义, 我们考察它对应的 Noether 荷:𝑝𝜈=∫d3𝑥𝑇0𝜈(134)其中 𝜈=0 时:𝑝0=∫d3𝑥𝑇00=∫d3𝑥((((𝜕ℒ𝜕̇𝜙̇𝜙−ℒ))))=∫d3𝑥(𝜋̇𝜙−ℒ)=∫d3𝑥ℋ(135)𝑇00 即为能量密度. 𝜈=𝑖=1,2,3 时:𝑝𝑖=∫d3𝑥𝑇0𝑖=∫d3𝑥𝜋𝜕𝑖𝜙(136)𝑇0𝑖 为动量密度.EXAMPLE 1ℒ=12(𝜕𝜇𝜙)2, shift symmetry: 𝜙⟶𝜙′=𝜙+𝑎,𝛿𝜙=𝜙′−𝜙=𝑎.Noether 流:𝑗𝜇=𝜕ℒ𝜕(𝜕𝜇𝜙)𝑎=𝜕𝜇𝜙,𝜕𝜇𝑗𝜇=□𝜙=0(137)EXAMPLE 2ℒCKG=|𝜕𝜇𝜙|2−𝑚2|𝜙|2, 𝑈(1) symmetry:𝑈(1):{{{{{𝜙⟶𝜙′=ei𝛼𝜙𝜙∗⟶𝜙∗′=e−i𝛼𝜙∗⟹{{{{{𝛿𝜙=i𝛼𝜙𝛿𝜙∗=−i𝛼𝜙∗(138)Noether 流:𝑗𝜇=i[(𝜕𝜇𝜙∗)𝜙−𝜙∗𝜕𝜇𝜙](139)Noether 荷:𝑄=∫d3𝑥𝑗0=i∫d3𝑥[̇𝜙∗𝜙−𝜙∗̇𝜙](140)E.量子化 K-G 场论